ANÁLISE DIMENSIONAL EM CÁLCULOS DE QUÍMICA

Ou Regra de Três 2.0

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Abstract

Algumas figuras e fórmulas perderam a configuração, este material ainda está na fila para revisão. Obrigado pela compreensão.

1. INTRODUÇÃO

O raciocínio proporcional é utilizado em diversos momentos em nosso cotidiano, como, por exemplo, no simples ato de fazer um bolo, se em sua receita está escrito para utilizar quatro ovos, 1 xícara de açúcar etc, mas você não deseja fazer uma receita inteira, talvez porque só você comerá o bolo, assim você decide fazer meia receita e como é de se esperar você utilizará dois ovos, 1/2 xícara de açúcar e dividirá por dois todos os outros ingredientes. Em química podemos utilizar um exemplo semelhante, porém um pouco mais complexo. Supondo que um professor está elaborando um procedimento de uma prática experimental, em seu teste ele utilizou 0,9000g de tetraborato de sódio (bórax), como padrão primário, para titular uma amostra de ácido clorídrico e utilizou 11,50mL do ácido com o auxílio de uma bureta de 25,00mL, para reduzir o erro relativo nesta titulação ele deseja dobrar o volume de ácido a ser utilizado e por isso ele duplicará a massa de bórax.

Em matemática quando pensamos em raciocínio proporcional lembramos da famosa regra de três e utilizando os exemplos acima podemos representar:

1 receita 4 ovos 1 xícara de açúcar
1/2 receita X Y

X = frac{1/2 receita times 4 ovos}{1 receita} = 2 ovos

Y = frac{1/2 receita times 1 xicara}{1 receita} = 1/2 xicara

0,9000g 11,50mL
X 23,00mL

X = frac{23,00mL times 0,9000g}{11,50mL} = 1,800g

1.1. Exemplo da Aplicação da Regra de Três em uma titulação

A regra de três mostra-se indispensável nos cálculos em química, não para exemplos tão simples quanto os que foram expostos anteriormente, mas para exemplos um pouco mais complicados. Se o professor utilizou 0,9000g de bórax na padronização de ácido clorídrico e gastou 11,50mL do ácido nesta operação, podemos calcular a quantidade de matéria de bórax utilizado já que conhecemos sua massa molar, 381,38g/mol.

1mol bórax 381,38g
X 0,9000g

X = 0,002360 mols de bórax

Sabendo que um mol de bórax reagem com dois mols de ácido clorídrico podemos calcular a quantidade de matéria de ácido clorídrico presente na amostra de ácido.

1mol bórax 2mol HCl
0,002360mol boráx X

X = 0,004720 mols de HCl

E finalmente para calcular a concentração molar do ácido padronizado utilizamos a fórmula:

C=frac{n}{V} =frac{0,004720mol}{0,01150L}=0,4104mol/L

Portanto, a concentração em quantidade de matéria do ácido clorídrico padronizado, segundo os dados acima é 0,4104mol/L.

1.2. Exemplo da aplicação da Análise Dimensional em uma Titulação

C(HCl)=frac{0,9000g_{borax}}{11,50mL} times frac{1mol_{borax}}{381,38g_{borax}} times frac{2mol_{HCl}}{1mol_{boras}} timesfrac{1000mL}{1L} = 0,4104mol/L

Chegamos ao mesmo resultado, mas utilizamos um menor espaço para os cálculos, importante para relatórios ou questões dissertativas em uma avaliação. Caso esteja utilizando uma calculadora científica você poderá colocar todas as operações na sequência e obter o resultado apertando o tecla de igual apenas uma vez. A análise dimensional também é útil quando se deseja cacular o erro absoluto ou relativo do resultado final, atividade fundamental na área de metrologia.

2. MECANISMO DA ANÁLISE DIMENSIONAL

Ao multiplicar qualquer valor por 1 o produto é o próprio valor e quando dividimos um número por ele mesmo temos como resposta 1. Essas afirmações ensinadas no ensino fundamental é a base da análise dimensional, assim se multiplicar 0,9000g de bórax por 1 o valor não sofre alteração.

0,9000g_{borax}times1=0,9000g_{borax}

1 mol de bórax dividido por 1 mol de bórax é igual a 1.

0,9000g_{borax}timesfrac{1mol_{borax}}{1mol_{borax}} =0,9000g_{borax}

A massa molar do bórax é 381,38g/mol e, com este valor, podemos afirmar que 1mol de bórax = 381,38g de bórax. e podemos substituir o denominador da fração anterior.

0,9000g_{borax}timesfrac{1mol_{borax}}{381,38g_{borax}} =0,002360mol_{borax}

A unidade g de bórax dividido por g de bórax, no numerador da fração anterior, resulta em 1 e portanto podemos “cancelar” estas unidades resultando, como unidade final, apenas mol de bórax.Caso tivéssemos a situação oposta, ou seja, converter mol de bórax (0,3000 mol, por exemplo) em grama de bórax, teríamos que fazer um raciocínio semelhante.

0,3000mol_{borax}timesfrac{381,38g_{borax}}{1mol_{borax}} =114,4g_{borax}

Neste caso o 1mol de bórax presente no numerador da fração é que foi substituído, dessa forma “cancelamos” a unidade mol de bórax e sobrou apenas a unidade g de bórax no resultado final.

2.1. Exemplo Detalhado

Agora, talvez, poderemos compreender melhor a análise dimensional apresentada na seção 1.2. e para ficar mais fácil de consultar ela será apresentada novamente abaixo:

C(HCl)=frac{0,9000g_{borax}}{11,50mL} times frac{1mol_{borax}}{381,38g_{borax}} times frac{2mol_{HCl}}{1mol_{boras}} timesfrac{1000mL}{1L} = 0,4104mol/L

O 0,9000g de bórax, presente no numerador da primeira fração é o valor inicial que temos, neste caso a massa de bórax utilizada na padronização; a segunda fração converte a massa de bórax em mol de bórax, como explicado na seção anterior; a terceira fração converte a unidade mol de bórax em mol de ácido clorídrico, já que um mol de bórax reagem com dois mols de ácido clorídrico; dividindo o mol de ácido clorídrico pelo volume do próprio ácido gasto obtemos a concentração em mol/mL, mas geralmente utilizamos mol/L; a quarta fração converte a unidade mL presente na primeira fração em L e por isso obtemos o resultado na unidade desejada, mol/L. Note que cada fração que multiplica 0,9000g de bórax equivale a uma regra de três, após multiplicarmos 0,9000g pelas duas primeiras frações obtemos a quantidade de matéria do ácido clorídrico (em mol), ao dividir este valor por 11,50mL equivale a aplicar a fórmula: C = n/V, e finalmente, quando multiplicamos pela última fração estamos convertendo a concentração em mol/mL em mol/L.Talvez seja um pouco difícil de compreender este mecanismo no primeiro contato, assim com foi difícil de explicá-lo, mas com um pouco de prática é possível entendê-lo muito bem e deixar de lado a regra de três para cálculos diretamente proporcionais.

3. OUTROS EXEMPLOS

Nesta seção deixarei disponível alguns exemplos de análise dimensional em cálculos em química e alguns não relacionados a química quando achar conveniente.

3.1. Converter km/h em m/s

Em uma determinada rodovia o limite de velocidade para caminhões é 90km/h, qual será o valor deste limite em m/s?

V = frac{90km}{h} times frac{1000m}{1km}timesfrac{1h}{60min}timesfrac{1min}{60s}=25m/s

A primeira fração é a velocidade que desejamos converter, a segunda fração converte a unidade quilometro (km) na unidade metro (m), a terceira fração converte a unidade hora (h) na unidade minutos (min) e a última fração converte a unidade minuto (min) na unidade segundo (s). Ao realizar esta operação na calculadora científica, basta inserir: 90times1000div 60 div 60 e podemos visualizar o resultando apertando o botão de igual (=) uma única vez. Isto demonstra que a análise dimensional simplifica até sua operação na calculadora. Caso queira simplificar mais ainda a análise exemplificada anteriormente basta juntar as duas últimas fração em uma para converter a unidade hora (h) na unidade minuto (min). Podemos fazer isto já que sabemos que em 1 hora há 3600 segundos.

V = frac{90km}{h} times frac{1000m}{1km}timesfrac{1h}{3600s} = 25m/s

3.2. Converter m/s em km/h

Um corredor de 100 metros rasos apresentou uma velocidade de 10,4m/s em um dia de corrida, qual será o valor desta velocidade me km/h?

V = frac{10,4m}{s} times frac{1km}{1000m}timesfrac{3600s}{1h}=37,4km/h

Se compararmos esta análise dimensional com a anterior podemos constatar que as duas últimas frações estão invertidas, isto é fácil de compreender, na primeira convertemos km/h em m/s e nesta última convertemos m/s em km/h, como as conversões são opostas basta invertemos as frações na análise dimensional.

3.3. Calcular a variação do espaço a partir da velocidade escalar

Considere um caminhão que desenvolveu a velocidade de 25,0m/s durante 3,00h. Quantosquilômetroseste caminhão percorreu?

Delta s = 3,00htimesfrac{3600s}{1h}timesfrac{25,0m}{1s}timesfrac{1km}{1000m}=270km

3.4. Converter a velocidade de conexão com a internet

As vezes ouvimos falar sobre velocidade de acesso a internet, assim podemos ouvir falar na velocidade de 1 mega, mas na verdade é anunciado 1 megabit por segundo (Mbps) e alguns programas mostra a velocidade de acesso em quilobyte por segundo (KBps). Abaixo temos como converter o megabit por segundo em quilobyte por segundo.

1Mbpstimes frac{1024Kbps}{1Mbps} timesfrac{1024bps}{1Kbps}timesfrac{1Bps}{8bps}timesfrac{1KBps}{1024Bps}=128KBps

Então, um megabit por segundo (1 Mbps) é igual a 128 quilobyte por segundo (128 KBps)

Alternativamente podemos calcular como abaixo:

1Mbpstimesfrac{1024K}{1M}timesfrac{1B}{8b}=128KBps

Ambos os cálculos anteriores estão corretos, mas, como seguem metodologias diferentes, o segundo chega ao mesmo resultado de forma mais simples. Para isto basta saber que 1 M = 1024K e 1 Byte = 8 bits. Observem também que o Mega utilizado em cálculos em Química é diferente do Mega utilizado em alguns cálculos em Informática. Assim, em Química 1M = 10 6 , mas em Informática 1M = 2 10 K = 1024K; notem também que em Informática o quilo é representado por K (maiúsculo) em Química o quilo é representado por k (minúsculo).

4. EXEMPLOS DIRECIONADOS PARA A ÁREA DE QUÍMICA

4.1. Cálculos estequiométricos envolvendo termoquímica.

Adaptado do vestibular da UNICAMP de 2010.

Qual massa de gás hidrogênio deve reagir em uma célula de combustível para liberar 38,0MJ de energia? Considere a entalpia de formação da água segundo a equação abaixo:

H 2 (g) + 1/2O 2 (g)→ H 2 O(g) ∆H = -242kJ/mol

m(H_2)=38,0MJtimesfrac{1000kJ}{1MJ}timesfrac{1mol_{H2}}{242kJ}timesfrac{2,016g_{H2}}{1mol_{H2}}=317g_{H2}

Observe que a primeira fração converte a unidade MJ em kJ, a segunda fração utiliza a informação fornecida na equação termodinâmica da formação da água, onde temos que para formar um mol de água (ou para consumir um mol de hidrogênio) ocorre a liberação de 242kJ de energia. A última fração converte a quantidade de matéria (mol) de hidrogênio em massa de hidrogênio, utilizando a massa molar do gás hidrogênio: 2,016g/mol.

Ainda considerando os dados do exemplo anterior podemos perguntar: Qual massa de gás oxigênio deve reagir em uma célula de combustível para liberar 38,0MJ de energia?

m(H_2)=38,0MJtimesfrac{1000kJ}{1MJ}timesfrac{0,5mol_{O2}}{242kJ}timesfrac{32,00g_{O2}}{1mol_{O2}}=2,51times 10^{3} g_{O2}

4.2. Cálculos estequiométricos envolvendo eletroquímica

Adaptado do vestibular da UNICAMP de 2010.

Durante um processo eletroquímico ocorre a formação de íons prata (Ag + ) a uma taxa de 2,00×10 -15 mol Ag + a cada 1000s. Calcule a corrente aplicada ao processo e considere a constante de Faraday: 96500C/mol e e a semi-reação de redução do íon Ag + :Ag + + e → Ag.

Neste caso é importante lembrar que a carga (Q) é o produto da corrente (i) pelo tempo da eletrólise (∆t), ou, em forma de equação matemática: Q = i x∆t.

i =frac{Q}{Delta t}=frac{2,00times 10^{-15}mol_{Ag+}}{1000s}times frac{1mol_{e-}}{1mol_{Ag+}}timesfrac{96500C}{1mol_{e-}}times frac{1A}{Cs^{-1}}=1,93 times 10^{-13}A

A primeira fração é a taxa de eletrólise da prata, fornecida no próprio exemplo, a segunda fração converte a quantidade de matéria de prata (mol Ag + ) em quantidade de matéria de elétrons (mol e ), a terceira fração é a própria constante de Faraday para converter a quantidade de matérias de elétrons na carga em Coulomb (C), a quarta fração converte a corrente emAmperes(A). Podemos compreender de forma alternativa que o produto numerador da primeira fração pelas demais frações obtemos a carga (Q) do processo e dividindo este valor por 1000s, aplicamos a fórmula, i = Q/∆t, e obtemos a corrente aplicada durante o processo.

4.3. Cálculo do volume de ácido concentrado para preparação de solução diluída

Qual o volume de ácido sulfúrico concentrado é necessário para preparar 500mL de uma solução diluída com concentração de 0,10mol/L? Dados: d(H 2 SO 4 ) = 1,841g/mL; M(H 2 SO 4 ) = 98,09g/mol; T%(H 2 SO 4 ) = 98,0%.

V(H_2SO_4)=500mLtimes frac{0,10mol_{H2SO4}}{1000mL}times frac{98,09g_{H2SO4}}{1mol_{H2SO4}}times frac{100g_{H2SO4,conc}}{98,0g_{H2SO4}}times frac{1mL_{H2SO4,conc}}{1,841g_{H2SO4,conc}}=

V(H_2SO_4) = 2,7mL_{H2SO4,conc}

4.4. Determinação da Concentração em Massa de um Ácido Concentrado

Qual a concentração em massa de 1000mL do ácido sulfúrico concentrado do exemplo anterior?

C(H_2SO_4)=frac{1000mL_{H2SO4,conc}}{1L}timesfrac{1,841g_{H2SO4,conc}}{1mL_{H2SO4,conc}}timesfrac{98,0g_{H2SO4}}{100g_{H2SO4,conc}}=1,80times10^3g/L

Note neste caso que o volume do ácido concentrado não mudará o resultado, pois caso o valor no numerador da primeira fração seja alterado o denominador da mesma fração será modificada na mesma proporção. Assim, se repetirmos o cálculo acima a partir de 500mL de ácido sulfúrico concentrado obtemos:

C(H_2SO_4)=frac{500mL_{H2SO4,conc}}{0,5L}timesfrac{1,841g_{H2SO4,conc}}{1mL_{H2SO4,conc}}timesfrac{98,0g_{H2SO4}}{100g_{H2SO4,conc}}=1,80times10^3g/L

4.5. Obtenção de Fórmulas

O exemplo anterior é útil para demonstrar outra utilização da análise dimensional, a criação de fórmulas que podem aumentar a velocidade de diversos cálculos, isto é importante quando, por exemplo, é necessário aplicar o mesmo cálculo para diversas amostras. Como vimos, no exemplo anterior, o volume de ácido concentração não irá alterar o resultado final, partiremos, portanto, do primeiro caso.

C(H_2SO_4)=frac{1000mL_{H2SO4,conc}}{1L}timesfrac{1,841g_{H2SO4,conc}}{1mL_{H2SO4,conc}}timesfrac{98,0g_{H2SO4}}{100g_{H2SO4,conc}}=1,80times10^3g/L

C=1000times dtimestau

Onde:

C ⇒ Concentração em massa

1000⇒ fator de conversão

d ⇒ densidade do ácido concentrado em g/mL

tau (letra grega tau)⇒Título do ácido concentração (valor entre 0 e 1 e sem unidade)

Observem que 1000 é obtida na primeira fração da análise dimensional, d e tau são obtidos, respectivamente da segunda e terceira fração da análise dimensional.

Abaixo temos a aplicação da fórmula obtida anteriormente.

C=1000times dtimestau=

C= 1000times 1,841times 0,980 =

C=1,80times 10^3g/L

A vantagem da fórmula é que ganhamos em velocidade, como explícito anteriormente, isto é necessário quando aplicamos o mesmo cálculos para diversas amostras em seguida. A desvantagem é que não trabalhamos com as unidades, caso alguns dos valores estejam com outra unidade é necessário converter o valor para a unidade correta antes de aplicarmos na fórmula, o que elimina a própria vantagem obtida com a utilização da fórmula, a velocidade. Por isso eu não recomendo a utilização da fórmulas, além disso temos a sensação de que não sabemos o que estamos calculando, apenas aplicamos a fórmula sem entender o mecanismo. Já com a análise dimensional você compreende o mecanismo, o raciocínio aplicado no cálculo, você tem o controle do processo, caso contrário você nem consegue terminar a análise dimensional. Mesmo assim, muitos métodos de análises utilizam fórmulas e por isso elas foram citadas nesta seção, mas se você compreender o mecanismo da análise dimensional será capaz de entender a origem de diversas fórmulas, modificá-las quando necessário e até mesmo criar suas próprias fórmulas.

5. COMO CITAR ESTE ARTIGO

Teixeira, F. M. B. Análise Dimensional em Cálculos de Química: Ou Regra de Três 2.0 [internet].

Knol.Disponível em: < http://knol.google.com/k/francisco-teixeira/an%C3%A1lise-dimensional-em-c%C3%A1lculos-de/1cj9b3aczk232/5#view >.

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